↓1.到月亮上远足的计划、仍然是几何学。
↓2.一个脑袋的肖像、相似的条件。
↓3.墨渍和相似图形、要构建一个相似的几何图形无需知道太多细节。
↓4.将这一原理运用来测量不可能到达的距离、塔与河。
↓5.角直径、测量一座我们不能到达的塔的实际直径。
↓6.测量地球到月球之间的距离。
↓7.对于这一距离的相关比较。
↓8.角直径与月亮的实际直径。
↓9.周长与体积。
↓1.当月亮掠过一朵朵云彩，仿佛在天空中飞速奔跑时，谁不曾追着它看？当云彩向着月亮靠近，它就会被白色的月光浸没，就像一团银色的羊毛，当云彩靠得更近时，它就会变得越来越厚、越来越暗，到了最后，月亮就会被那些移动的帷幕遮住。有时，我们会在那不均匀的雾幔后面看到一圈模糊的光晕露出来，但天空中有时会出现一片晴朗的地方，于是月亮又会清清楚楚地完整出现，从天空中好奇地看着我们，于是就会有无数个问题出现在我们脑海里了。我们困惑地看到月亮上有人形肖像，那它究竟是一颗什么样的星星？夜里在这样一个寒冷的地方，它在那里做什么呢？人们认为，它在和它的邻居地球玩捉迷藏的游戏。为了满足你们的好奇心，让我们一起到月球上徒步旅行吧！让科学当我们的引路人。你们准备好了吗？开始出发了。等一下，我弄错了。作为谨慎的旅行者，首先应该要说明我们需要走的路程。在你没有知道路程的长短之前，我们是不会进行一次如此遥远的探险的，因此，我们要测量一下地球到月亮的距离。要测量一下地球到月亮的距离？这是不可能的，谁能够拿着米尺一步一步地去测量连接地球与月亮之间的直线呢？谁敢自诩能够跨过空间中的这段距离，一脚踏在地球上，另一脚踏在月亮上，在这两个星球之间拉起一根测量的绳子？几何学家能够创造出这样的奇迹来。几何学家能够借助于角与直线的简单组合，告诉我们不可到达的物体的大小和到我们的距离。你们可能想知道，他们是怎样用最基本的东西、以最巧妙的办法来测量那不可测量的距离呢？这种高妙的方法是人类智慧中最杰出的观念之一。为了研究一下这种方法，我们先将将旅行推迟一段时间。当你们亲眼看到实际去测量地球到月亮之间的距离是可能的、而不是简单接受那些你们所引用的数据的时候，你们会有一种满足感。通过记忆去学习是一件很好的事情，但是理解却看得更加清楚明白，因此它是更好的事情。
↓2.给你们一个需要临摹的原图或是一个人的脑袋作为模型，你们可以描摹得和模型一样大，或者比它们大一些，也可以比它小一些，但不管怎样，最重要的是描画得跟原物相像，这一点是再清楚不过的了。这是已经画出来的鼻子，你们画出来的鼻子只有模型鼻子的一半大，对此我没什么可说的，只要画的比例协调就行。下面来画嘴，既然鼻子小了一半，那么很明显，嘴也要小一半！眼睛、耳朵、下巴、卷曲的头发，所有这些是不是都应该比原物小上一半！倘若在巨大的眼睛下边有一个小小的鼻子，或是在一张大嘴的下边有一个小小的下巴，你们——稍微看一下就会知道什么后果。你们画的不再是相像的临摹画，而是一幅难看的漫画。坚持这样画是没有用的：你们明白，既然一开始你们已经将这幅画中的鼻子缩小了两倍，那么，为了描摹得相似，眼睛、嘴巴、下巴等也要缩小；相反，如果你们一开始的时候就把鼻子扩大了两倍，那么画中的其他部位也要比模型中的相应部位扩大两倍。这一原则对于画图来说是没有争议的，这一点也同样适用于几何图形。其实我们应该说这一原则适用于一切情况：在相似的图画中，相对应的各部分之间的比例是相同的。
要使得图画相似，仅仅使不同的线段之间比例保持相同还是不够的，还需要其他的条件。假设你要画一个类似于图43中ABCDH的几何图形，但是大小要缩小一半。你们先作线段ab，使它的长度是线段AB长度的一半；然后作线段bc，使它的长度是线段BC长度的一半；再作线段cd，使它长度是线段CD长度的一半；最后作线段dh，使它长度的线段DH长度的一半。如图44所示。我们看到，相对应的不同线段之间的比例是相同的。但是，我们模仿出来的图画仍然跟原画并不相似。那么，为什么我们的模仿像是缺少了点什么东西呢？那是因为，我们并没有考虑角与角之间的相等。在作画的过程中，我并没有注意到这一点。我们再重新画一幅，并且仔细地画。在模仿图形中，使得对应的角都与原图中的角相等。我们作一个线段a′b′，使得它的长度是AB的一半，如图45所示，然后在点b′作一个角，使它的大小正好等于原图中相对应的角的大小，这样一直画下去，就能得到一个与原先图形相似的图形a′b′c′d′h′。因此我们可以说：在相似的几何图形中，相对应的线段之间的比例是相同的，相对应的角是相等的。
图43
图44
图45
↓3.要根据一个眼前的模型画出一个脑袋、一幅风景或其他的什么东西，那么，我们必须要看到这个模型的所有部分，倘若这个模型的某个部位被一摊墨渍盖住了，那么，你还能如实完整地模仿出这个模型吗？——当然不能，为了描摹一幅画，首先应该观察这幅画，它所缺少的部位、不为我们所知的部位，都是不能被模仿的，这是显而易见的事情。但由于几何图形非常简单，所以几何图形是一个非常明显的例外。尽管原图的有些部位看不清楚、不为我们所知，但它还是可以被精确地模仿出来。我们用下面的一个例子来证明这一点。如图46中，我们要模仿一个多边形ABCD，要把它的大小缩三倍。假如原图就像图46中的图一样是完整的，那么我们所要做的缩小工作并没有什么需要特别注意的地方。但是请你们想象一下，假如它被一摊墨渍弄脏了，就像图47中那样，角A就被遮住了，而边AB与边AD有多长，我们也看不到了。这样，根据这样一幅不完整的图形，我们还能作出一幅跟原图相似的模仿图来吗？这幅原图我们从来没见过呀？我们来试着作一下：我先作一个角c，使它与原图中相对应的角C相等，如图48所示；再沿着该角的两边，作线段cd和cb，使得它们的长度分别是线段CD和CB的三分之一，然后在b点处，再模一个与相对应的角B相等的角，由此得到一条无限长的直线bx；同样的，我在d点作一个与角D相等的角，由此得到一条无限长的直线dy，这两条直线bx与dy在点a处相交，于是一个完整的满足要求的图就被摹仿出来了。由此可见，在作图的过程中，我们不需要添加什么东西，也不需要考虑我们不知道其大小的角a以及边BA与DA的长度。这样，我们就完成了这个模仿图，这个图形是独立完成的，没有任何的随意性，也没有任何取决于我们选择的因素，这个图形是按照原图严格地作出来的，不存在任何其他可能的构造方式。因此，要作一个与某个几何图形相类似的图形，没有必要了解这个模型图形的所有细节，只要你知道关于这个模型图形的知识能够使绘图到达某个点的时候，它就能自然而然地完成就行。
图46
图47
图48
↓4.现在我们就将这个富有成效的原理应用到下一个问题之中。如图49所示，我们位于A点，有一条河将我们与塔C分开，而我们不能跨过这条河。我们想要测量我们与塔之间距离AC的长度以及塔的宽度。为了达到这个目标，在我们这一侧的河边，我们在任意一点比如说B点竖起一根杆子，我们直接用米尺或卷尺来测量一下线段AB的长度，并把线段AB称为底边，我假设它的长度是70米。然后我们在点A处放置一个经纬仪，测得角CAB的大小是52度。最后，我们将该经纬仪移到点B，来测量角CBA的大小，假定它是40度。
图49
图50
根据这些测量，我们获得三角形CAB中两个角即角A与角B的大小以及三条边中的一条边即边AB的长度，角C的大小与另外两条边AC与BC的长度，我们是不知道的，但这并不是因为它们被墨汁覆盖住我们才不知道，而且是因为河的阻拦，它比墨汁覆盖更加令人沮丧，因为它使得我们不能从河的这边走到河的那边去测量离塔的距离。如果我们不管墨汁的覆盖，能够作出一个相似的图形来，那么，河这个障碍物就不能妨碍我们在纸上如实地描摹出和三角形ABC相似的图形，尽管我们对三角形ABC只知道其中一半。我们在纸上画一条线段ab，使它的长度为70毫米，如图50所示，线段ab代表的是图49中那条在地上测量出来的70米长的底边AB，然后在点a处作一个52度的角，在点b处作一个40度的角，使得这两条直线相交于点c。由此我们就完成了这个图，这个图是自然而然完成的，因此它与地上的原型是严格相似的，既然如此，那么它们对应的边之间的大小比例是相同的，只不过ab的长度是70毫米，而AB的长度是70米。因此，AC的长度是多少米，那么知道ac的长度是多少毫米就足够了。我们用一把非常精确的直尺来测量ac的长度，我们发现，比如说，它是50毫米，那么，我们所求得的AC的长度是50米。你们看到，尽管河流阻挡住了我们的去路，但是，我们还是精确地测量出了塔距离我们到底有多远。借助于相似的图形，我们只需要知道一个底边的长度和两个角的大小，就能完美地完成这项工作。
图51
↓5.一旦我们知道了塔离我们的距离，我们就很容易计算出塔的大小、塔的直径。观察者在点A处通过经纬仪上的两个望远镜来观察塔的左侧与右侧，由此，塔的宽度就是经纬仪上两个望远镜所代表的两条边所夹的角度。假设由此形成的角BAC的大小是10度，我们将这个角称为塔的角直径，因为这个角的两条边之间就是实际的直径，也就是塔的宽度。现在我们在纸上画一个10度的角a，如图52所示，在它的两条边上，从顶点开始作两条线段ab与ac，使得它们的长度都是50毫米，对应着塔与我们的距离50米。完成了这一步后，我们的图形算是完成了。我们用一把非常精确的尺子来测量bc，假设它是9毫米，那么，塔的宽度就是9米。
图52
因此，要测量一个我们无法接触到的物体的大小，首先，我们要运用几何学的方法来确定该物体与我们之间的距离，然后，测量角直径，也就是说，从观察者的角度来看物体，所看到一侧的边与另一侧的边所形成的两条视线的夹角大小。借助于这个角的大小和已知该物体与我们之间的距离长短，我们就完全可以着手解决这个问题了。最后，我们不得不承认：几何学真是一种有效的工具啊！一个物体，不管它在哪里，是高楼大厦也好，是悬崖峭壁也好；也不管它有多远，一千米、一万米，甚至更远的距离，现在我们不必走过去，几何学就能告诉我们这个物体的大小以及它与我们之间的距离，就像用米尺实际测量过一样。借助于几何学来做这些研究，我们如果再说这些是不可能的，那我们就错了。
↓6.倘若我们仅仅依靠简单的表象来判断地球与月亮之间的距离，那我们就犯了一个巨大的错误。单靠眼睛来观察，我们并不能够知道任何事情。我们看到月亮躲在云彩的后面，云彩本身离我们有两千米、三千米、四千米……有时候会高一些，有时候会低一些，那么月亮离我们到底有多远呢？如果不借助于几何学，我们根本不可能知道答案，因此我们就需要运用严格的科学来研究这个问题。
有两个观察者分别位于地球上的两个点，他们之间相距很远，这是为了我们的测量有一个足够大的底边。他们要精心选择他们的位置，使得他们之间的连线是正南北向的，也就是说，他们要处于同一条子午线上，比如说，一个观察者位于奥地利的维也纳，而另一个则处于非洲子午线南顶点的好望角。他们之间的距离接近于地球周长的四分之一，以这段距离作为一条巨大的底边，在它的基础上搭建出一个几何的脚手架来。最重要的是，这两个观察者需要于同时同分同秒在好望角与维也纳分别进行观察，这样，他们所看到的月亮应该是处于天空中的同一位置。他们之间的距离相隔如此之远，那么，怎么才能够做到在同一时刻观察呢？月亮自己解决了这个问题，因为满月的月盘会向两个观察者同时发出一个看得见的信号。实际上，在一定的时机，满月会变得越来越模糊，最后变得看不见，隐没在地球的阴影之中，在这个时刻，地球挡住了月亮，使太阳照不到它了。这两个天文观察者等着某个信号，以便同时进行他们的观察，这个信号确切地说就是月食。当地球的阴影开始吞没月亮的边线时，这两位天文观察者会用望远镜同时观察到月亮的那条边被吞没。于是，在地球的这两个地方，测量工作同时开始了，就像这两位天文观察者约定好了一样。
↓7.于是，测量工作就简化为对两个角的测量。对此我们说明如下：在图53中，弧VEC是地球子午线上的一段圆弧，它把维也纳（即点V）与好望角（即点C）连接起来。在E点，赤道与这根子午线相交。在观察者开始观察的那一刻，月亮位于L点。维也纳的天文观察者用经纬仪测量角HVL，该角是由地球垂线HV与望向月亮的视线VL构成的；而好望角的天文观察者则用经纬仪测量DCL，该角是由地球垂线DC与望向月亮的视线CL构成的。这就是要做的所有工作。现在只要确定一下他们所在位置的纬度，也就是我在前文中讲过的观察者所在的点到赤道的度数，这样就可以了。通过观察相对应的天极，我们就可以得出他们所在的纬度。很明显，对纬度的测量不需要同时进行。每个观察者只要自己掌握时间，来确定他自己所在地的纬度即可，而无需关注他同事的测量时间。我假设维也纳的纬度是48度，这也就是说，处于赤道与维也纳之间的那条子午线上的弧EV是48度。好望角的纬度或说弧EC的大小是34度。这两个纬度之和，即弧EV与弧EC之和，就是两条垂线之间的角COV的度数，角COV就是我们所选取的两个观察点所在的地球垂线所构成的角，也即VO与CO这两条地球半径所构成的角。由此，在地球的这两个地点所进行的观察告诉我们，角COV的大小是48度加上34度，即82度。为了确定月亮与地球之间的距离，只需通过相似图形的办法即可，无需再做其他的事情。
图53
↓8.我们在纸上画一段弧线，用它来代表地球上的一段圆弧，同时在这条弧线上画出它的任意一条半径，用来代表地球的半径。如图54所示。下面我们以点o为顶点作一个82度的角cov。首先，在点v处作一条线段vl，使得它跟穿过点v的垂直线hv构成一个角hvl，并使得这个角等于在维也纳处的天文观察者所测到的角的大小，其次，在点c作一个角dcl，使得它的大小等于在好望角处的天文观察者所测到的角的大小，这样，两条直线vl与cl会相交于点l处，由此图形ovlc就自然而然地完成了，它跟穿过地球与天空内部的直线所构成的图形OVLC相似。如果我们用圆规去测量ol包含有多少个oc，那么测量结果就是大约60个左右。因此，月亮到地球中心的距离大约是地球半径的60倍。我们之所以说大约，这是因为地球到月亮的距离是随着月亮位置的变化而变化，月亮到地球的最远距离是地球半径的64倍，而最短的距离则是56倍，平均距离是60倍。
图54
↓9.月亮在云层后所呈现出来的现象严重地欺骗了我们。实际上，月亮与我们之间的距离要比我们看到的距离要远得多。要到月亮上去，需要30个地球连成一串，或是需要一根长绳，它的长度大约是沿着地球赤道绕上9圈到10圈的样子；一枚炮弹，当它离开炮口时的速度大约是每秒400米，如果保持这个速度，它要花上11天的时候才能从地球到达月亮；一辆时速为60千米的火车，要连续开上9个月才能从地球抵达月亮。既然月亮距离地球是如此的遥远，那么月亮实际上要比它看上去大上很多。为了知道月亮的实际大小，我们要重复一次测量塔时所进行的工作：首先要测量它的角直径，然后将该角与距离结合起来计算月亮的大小，通过观察月亮圆盘的上半圆与下半圆，我们测到月亮的角直径大约是半度。然后我们在纸上画一个大小为半度的角，并在它的两条边上截取60个单位的长度，以此代表60个地球半径，由此我们找到了三角形中对应着月亮实际直径的那条边，它的大小接近于地球直径的四分之一，或者更准确地说是十一分之三。这样看来，月亮并不是一个小盘子，而是一个非常大的球，尽管它比地球要小得多。月球的半径大约是地球半径的十一分之三，因此它的周长是10800千米，它的体积大约是地球体积的五十分之一。现在我们可以开始我们原先计划好的探险活动了，如果路途太遥远了，那么就让我们乘着思想的翅膀快速飞过去吧！